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，虽然黎曼没有能严格证明它的存在性。
在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。
从
世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。
世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。&#
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世纪
年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在
年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后
世纪
年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础，他在讨论班的讲义《代数几何基础》（
，
，
）成为该领域的圣经。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。”
说道这里，君信顿了顿继续道：“前不久，因为我以代数几何学的思维方法解决了数论领域的莫得尔猜想问题，从而获得了格罗藤迪克先生的亲睐，并与他就这方面的知识进行了相关的讨论。”
君信的话音刚落，底下坐着的人一下子便激动起来，看向君信的眼神也立刻变得格外不同起来。
君信没有理会下面的人，继续说道：“鉴于代数几何发展的历史变迁，我们想要学习这门课需要一定的基础，你需要了解抽象代数、交换代数、同调代数，除此之外，你还需要了解再加上代数拓扑、微分几何、复分析、多复变函数以及黎曼几何、数论等方面的知识。未来两个星期的时间里，这些知识我会挑选最重要的讲解一下，两个星期之后，你们将面临着真正的代数几何学的知识。”
